6.6 Un formalismo General para la representación en episodios

Normalmente, la representación simbólica de las señales se basa en los signos de la primera i de la segunda derivada, a las cuales podemos llamar tendencia i curvatura, respectivamente. Pero puede ser que la tendencia i la curvatura no sean suficientes o necesarias para describir cualitativamente las características de interés de la señal que estudiemos. En muchos casos es posible que la propia dinámica de las señales no aporte informaciones significativas para la Supervisión, sino que sean necesarias otras características (como el nivel de ruido, el sobrepasamiento de un lindar, la desviación respecto de un valor medio, el espectro ...) para obtener conclusiones sobre el proceso supervisado.

Per lo tanto, una generalización de las representaciones en episodios puede ser la herramienta mas adecuada para obtener información simbólica i simplificada de las señales. Si para construir los episodios se utilizan sólo aquellas características de las señales estrictamente necesarias, entonces la representación resultante será al mismo tiempo la más simple y la que aportará la máxima información, cualitativa i cuantitativa, útil.

Esta generalización se puede hacer formalmente a partir de la definición de episodio i basada en la formalización de Cheung i Stephanopoulos.

Representación del tiempo i de la señal.

 
El punto de partida de la representación de una señal basada en episodios dede ser la propia señal. Por tanto, suponiendo que la señal está muestreada, se dispone de los instantes de muestreo i del valor de la señal en estos instantes, que se pueden representar de forma ordenada i natural:

 
A partir de esta representación inicial se pueden definir las cualificaciones necesarias per obtener la representación final en episodios.
 
Función característica.

Por función característica entenderemos aquella característica cuantitativa de la señal que nos interesará estudiar i que variará a lo largo del tiempo. La función característica es la base de la representación en episodios i puede ser cualquier función de los valores de la señal i de los instantes de tiempo en qué se mide. El valor de la función característica en un determinado instante de tiempo puede depender de los valores de la señal en el instante de muestreo actual i anteriores, de los valores de la función característica en los instantes de muestreo anteriores i de los valores del tiempo en los instantes de muestreo.

Algunos ejemplos de función característica poden ser:

• El propio valor de la señal : F(t_i) = x(t_i)
• Derivada de la señal : F(t_i) = (x(t_i)-x(t_i-1))/( t_i - t_i-1)
• Filtrado FIR o IIR de la señal :

• Transformades del señal ( FFT, Transformada Wavelet ...),
• Nivell de soroll en el señal
• Espectre del señal
• ...


Puede ser necesario utilizar más de una función característica para describir todo lo que queremos abstraer de una señal. Por lo tanto, puede ser posible necesitar més de una función característica para cada señal estudiado:

Llamaremos n_f al número de funciones características utilizadas.

Debe tenerse en cuenta que el número de tipos diferentes de episodios está en función del número de funciones características utilizadas para crearlos. Por lo tanto, un exceso de funciones características puede resultar contraproducente, ya que entonces el nivel de abstracción de los resultados puede no ser suficiente.

Per representar cualitativamente una señal debe definirse el estado cualitativo. Esto puede hacerse a partir de las funciones características, asegurando de esta forma que sean representativos.

Intervalos característicos. Estado característicos. Estado cualitativo

Para obtener estados cualitativos a partir de las funciones características, sólo debe cualificarse el valor de la función característica. Cada función característica puede tomar un rango de valores a lo largo del tiempo que podemos cualificar dividiendo el rango en intervalos i asignando un valor cualitativo a cada un de estos intervalos. De esta forma se definen los estados característicos de cada función característica. Cada estado característico indicará la pertenencia del valor de la función característica a un intervalo que llamaremos intervalo característico. Para poder cualificar correctamente un señal, la unión de todos los intervalos característica debe ser igual a todo el rango de valores que puede tomar la función característica y su intersección debe ser el conjunto vacío.

Si llamamos n_j al número de intervalos característicos de la función característica F_j , podemos definir:

entonces:

 
Para un intervalo de tiempo en que el estado característico es constante se puede definir:

 
Cada función característica puede ser cualificada de diversas formas, dependiendo siempre del tipo de proceso que se supervisa i de las tareas del Sistema de Supervisión. La cualificación más simple será en dos intervalos, dividiendo el rango de valores en positivos i negativos, pero podemos incluir un intervalo alrededor de cero, intervalos alrededor de determinados valores significativos o intervalos per valores mayores o menores que estos valores significativos.
 

 

Fig. -1 Diversas posibilidades de intervalos característicos i símbolos asociados a cada uno.


 



 
 
 
 

En est caso, las posibilidades también son infinitas; pero también debe tenerse en cuenta que el número de tipos diferentes de episodios estará en función del número de intervalos característicos.

El esta cualitativo de una variable en un instante de tiempo o en un intervalo, representando cualitativamente todas las características de interés, quedará definido por el conjunto de estados característicos de las diversas funciones características:
 

QS(x,t_i)=< QF₁(t_i) , QF₂(t_i) ,… QF_nf(t_i) >
QS(x,t_i ,t_j)=< QF₁(t_i ,t_j) , QF₂(t_i ,t_j) ,… QF_nf(t_i ,t_j) >
Instantes característicos

Para obtener una representación en episodios debe dividirse el tiempo en intervalos significativos directamente relacionados con el estado cualitativo de la señal, de forma que cada episodio está caracterizado por un solo estado cualitativo, constante en todo el episodio.

Los instantes en qué se produce algún cambio en el estado cualitativo de la señal, los llamaremos instantes característicos:

 

t_i es un instante característica de x(t) Û QS(x,t_i) ¹ QS(x,t_i-1)

Pueden haber diferentes tipos de instantes característicos dependiendo de la función característica en qué se ha producido el cambio i de que cambio se ha producido. Por ejemplo, si la función característica es la primera derivada i los valores cualitativos son positivo i negativo , los puntos característicos podrán ser máximos ( si el cambio se produce de positivo a negativo ) o mínimos (si el cambio se produce de negativo a positivo ).
 
Características fundamentales i auxiliares

Aunque los episodios queden totalmente determinados por los instantes característicos i por el estado cualitativo , puede haber otros datos interesantes desde el punto de vista de la supervisión que no sean necesarios para la determinación de los episodios. Por lo tanto, se puede distinguir entre unas características fundamentales del episodio, que son los instantes característicos que lo delimitan (que llamaremos t_l i t_r) i su estado cualitativo (QS(x,t)), i otras características, llamadas características auxiliares, que aportarán información suplementaria. Ejemplos de característica auxiliar poden ser el 'convexity point' en la Representación Trapezoidal de [Cheung and Stephanopoulos, 1990] o los vértices de los triángulos en la Representación Triangular. También entenderemos como característica auxiliar del episodio otros datos de la señal en los instantes característicos, como los valores de la señal o de la derivada.

 
Episodios

Los episodios son el resultado final de este proceso de abstracción. Recordemos que un episodio debe estar definido per dos elementos:

• Un intervalo de tiempo, la duración del episodio. Limitado per dos instantes característicos consecutivos.
• Un contexto cualitativo , dando significado al intervalo de tiempo. Este contexto cualitativo viene dado por el estado cualitativo i sirve para distinguir un episodio de los episodios vecinos.


Un episodio E^k será, pues, un conjunto de valores cualitativos i numéricos que podremos agrupar en características fundamentales i características auxiliares
 




E^k = <t_l^k,QS^k,{características auxiliares}, t_r^k >

con las condiciones:

Asegurando que los episodios que formen una representación sean maximales.

Finalmente, la representación de una señal estará formada, pues, por una sucesión de episodios:

Tipos de episodios. Clasificación fundamental i clasificación útil
 
Un episodio está cualitativamente caracterizado por los valores cualitativos de las funciones características; por lo tanto, habrá tantos tipos diferentes de episodios como el producto del número de intervalos característicos para cada función característica.
 



Per lo tanto, se puede establecer una clasificación fundamental donde cada tipo esté determinado por el estado cualitativo de la variable, constante en toda la extensión temporal de el episodio.

Pero esta clasificación fundamental puede ser ampliada teniendo en cuenta las características auxiliares cualitativas. Entonces, cada tipo fundamental puede ser subdividido en tipos auxiliares para formar lo que podemos llamar una clasificación útil, en la cual estarán contempladas todas las características interesantes desde el punto de vista del proceso y del Sistema de Supervisión.

 
Ejemplos.

En la tabla que se presenta a continuación se intentan interpretar esquemáticamente las diversas representaciones en episodios desde el punto de vista de la generalización, identificando las funciones características, los intervalos característicos y las clasificaciones fundamental y útil.

La generalización propuesta permite describir las aproximaciones basadas en episodios maximales, determinados siempre per las mismas características, i que ocasionen representaciones únicas de la señal. Otras aproximaciones que no tienen en cuenta estas consideraciones queden excluidas de esta generalización.